¿Para qué se utilizan las integrales?

1. INTRODUCCIÓN

Las primeras preguntas que debe hacerse un estudiante cuando empieza a batallar con integrales son las siguientes:

– ¿Para qué sirven las integrales?a

– ¿Por qué debo aprender a integrar?

– ¿Qué puedo calcular con las integrales?

Es decir, cuestionarse su uso y el porqué de su insistencia durante los años de estudio.

 

2. UN POCO DE HISTORIA

El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numerosos científicos entre los que destacaron Arquímedes, Fermat y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboración del “Teorema fundamental del cálculo” de mano de dos brillantes matemáticos:  Isaac NewtonGottfried Leibniz. Este hallazgo no fue cooperativo, sino individual, hecho que generó vigorosas disputas por la autoría del mismo.

Finalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de integrales empleando el uso de límites.

 

3. ¿PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS INTEGRALES?

Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución.

  • Cálculo de áreas
  • Cálculo de longitudes de curvas
  • Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

 

4. EJEMPLO PRÁCTICO DEL USO DE INTEGRALES

 

4.1. Cálculo de áreas por geometría básica

Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:

 

Figura 1. Velocidad de un móvil respecto al tiempo

 

La integral es el cálculo del área que existe entre la función (la línea naranja) y el eje de abscisas (el eje X) entre dos intervalos cualesquiera (en este caso, de tiempo), siendo el área que queda por encima (del eje X) positiva y por debajo negativa. Para no profundizar en la integración y facilitar la asimilación del concepto, vamos a tomar un intervalo cuya área podamos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0 , 5) segundos:

 

Figura 2. Integración de un intervalo

 

Como se puede comprobar, se forma un rectángulo entre esos intervalos. Si calculamos el área de ese rectángulo, estamos hallando la integral de la función naranja entre el intervalo (0 , 5) segundos, ¡Estamos calculando integrales de forma muy sencilla!

Continuemos… ¿Cuál es el área de un rectángulo? El área de un rectángulo, como habéis podido comprobar en el enlace, es base por altura. En la gráfica se puede observar que la base es 5 y la altura (-8), por tanto, aplicando la fórmula A = B · h = 5 · (-8) = -40

Estoy seguro que todavía os queda una pregunta. Habéis aprendido que el área entre una función y el eje de abscisas se puede calcular realizando la integral entre dos intervalos, pero…

¿Y para qué sirve el cálculo del área en este ejemplo? En nuestro caso, la integral de la velocidad respecto al tiempo nos da el espacio recorrido en un intervalo determinado. Esto no tenéis por qué saberlo, ya que forma parte del campo de la física, pero gracias a la integral, hemos deducido que el coche se ha movido 40 metros hacia atrás de su punto de origen en los primeros 5 segundos.

 

4.2. Cálculo de áreas por suma de rectángulos infinitos

¿Cómo calcularíais el área de la siguiente gráfica?

 

Figura 3. Cálculo de una área irregular

 

Si intentáis buscar alguna forma geométrica cuyo cálculo del área conozcáis y se adapte perfectamente a la función, estáis perdiendo el tiempo. Necesitáis otra alternativa, aunque no sea exacta, por ejemplo formar rectángulos (cuya área conocemos) de diferentes tamaños que se adapten lo máximo posible a la gráfica:

 

Figura 4. Cálculo de una área irregular

 

De esta manera, podríamos hacer un cálculo aproximado del área, pero no sería exacto. Para un ejercicio de matemáticas no está mal, pero si de la exactitud de tus cálculos dependen los cimientos de un edificio o la resistencia de un puente, mejor no dejar mucho margen de error ¿Cómo conseguimos un cálculo más exacto? Si observáis la figura, cuantos más rectángulos utilicemos, más se aproximará el área de todos estos rectángulos al área de la gráfica. Si tomamos infinitos rectángulos, estaremos hallando la integral de esa función y por tanto su área.

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8 comentarios en “¿Para qué se utilizan las integrales?”

  1. Aah integrales lo mas facil del mundo . Alque no le gusten las integrales es por que no tuvo infancia o porque no hubo alguien que se las enseñran

  2. Jose Meléndez dice:

    Me gustaría que siguieras hasta completar el ejercicios hallando el área debajo de las curvas. casi todos llegan ahí pero no ponen los números solo las letras y yo me pierdo.

  3. diegooo dice:

    gracias por tu aporte necesitaba saber que era una integral y para que servia porque mi profesor de calculo empezó al tiro con ejercicios extensos sin enseñar lo básico se agradece el aporte

  4. jina dice:

    no m gusta la matematica

  5. Ramon dice:

    Este enlace es bueno para los que necesitan una entendible orientación hacia el campo del calculo integral … Gracias por el enlace :D

  6. pepe el toro dice:

    :)

  7. [...] de la historia. Contribuyó a la invención del cálculo (recordar el artículo sobre el uso de las integrales), reveló al mundo por qué los objetos caen atraídos hacia el suelo (la gravedad) e incluso [...]

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