Gauss y la suma de los primeros 100 números naturales

1. INTRODUCCIÓN

¿Cómo sumaríais todos los números naturales del 1 al 100? (1 + 2 + 3 ... + 100 = ?)

Esta fue la pregunta que J. B. Büttner, un maestro de escuela alemán, formuló a sus alumnos a finales del siglo XVIII.

 
Mientras la mayoría de pupilos comenzaban a calcular de forma progresiva el sumatorio de números, uno de ellos, de no más de 10 años, se levantó a entregar su pizarra al profesor. Ningún cálculo. Solo un número: 5050.

Era la primera clase formal de aritmética de ese pequeño genio que acabaría siendo considerado con el paso del tiempo como el «príncipe de las matemáticas»: Johann Carl Friedrich Gauss («Gauss» para el público en general).

2. ¿CÓMO RESOLVIÓ GAUSS EL PROBLEMA DE LA SUMA DE LOS PRIMEROS 100 NÚMEROS NATURALES?

Esta escena de la película «Midiendo el mundo» (2012) recrea la anécdota:
 

A modo de resumen, el joven Gauss cayó en la cuenta que 1 + 100; 2 + 99; 3 + 98, etc. sumaban lo mismo: 101. Por tanto solo tenía que realizar una sencilla operación para hallar el resultado final del problema: sumar 101 cincuenta veces, o lo que es lo mismo, multiplicar 101 por 50 (50 · 100 = 5050). ¿Hubieseis sido capaces de llegar a la misma conclusión? 😉

3. NOTAS Y ACLARACIONES

Este propiedad de los números naturales es conocida como «simetría de las progresiones aritméticas» y se puede calcular con la siguiente fórmula:
 

n(n + 1)/2

 
Aplicándola al ejemplo de la anécdota: 100(100 + 1)/2 = 100 · 101/2 = 10 100/2 = 5050.

4. MÁS INFORMACIÓN Y REFERENCIAS

• Detlev Buck (2012). Midiendo el mundo. Más información sobre la película [AQUÍ].
• Francisco R. Villatoro - francis.naukas.com (2010). III Carnaval de Matemáticas: Toda la verdad sobre la anécdota de Gauss, el niño prodigio, su profesor y la suma de 1 a 100. Disponible [AQUÍ].
• Gottlieb Biermann (1887). Retrato de Gauss. Imagen original obtenida en Wikimedia Commons. Disponible [AQUÍ].